115分科測驗數學甲多選第7題詳解

因為對數的真數必須為正，所以 $f(x)$ 有意義的條件是 $\frac{1+x}{1-x}>0$，解得定義域為 $-1<x<1$。 1. 選項 $(1)$ 說當 $x<1$ 時 $f(x)$ 都有意義。因為定義域是 $-1<x<1$，例如取 $x=-2$ 時真數為 $\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}$ 為負，所以 $f(-2)$ 無意義，$(1)$ 錯誤。 2. 選項 $(2)$ 說當 $f(x)$ 與 $f(-x)$ 都有意義時 $f(-x)=-f(x)$ 成立。因為 $$f(-x)=\log\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^{-1}=-f(x),$$ 所以在定義域內恆成立，$(2)$ 正確。 3. 選項 $(3)$ 說若 $f(x)>0$ 則 $x>0$。因為 $f(x)>0$ 等價於 $\frac{1+x}{1-x}>1$，而在定義域內 $1-x>0$，兩邊同乘 $1-x$ 得 $1+x>1-x$，所以 $x>0$，$(3)$ 正確。 4. 選項 $(4)$ 說存在實數 $a$ 滿足 $f(a)=-100$。因為當 $x$ 由 $-1$ 的右側趨近 $-1$ 時真數趨近 $0$、函數值趨近負無窮大，當 $x$ 由 $1$ 的左側趨近 $1$ 時函數值趨近正無窮大，且 $f$ 在定義域上連續，所以值域為全體實數，必有 $a$ 使 $f(a)=-100$，$(4)$ 正確。 5. 選項 $(5)$ 說 $y=f(x)$ 的圖形與 $y=10^{\frac{1+x}{1-x}}$ 的圖形對直線 $y=x$ 對稱。因為兩圖形對 $y=x$ 對稱等價於兩函數互為反函數，而由 $y=\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ 解得 $10^{y}=\frac{1+x}{1-x}$，再解出 $x=\frac{10^{y}-1}{10^{y}+1}$，所以反函數是 $y=\frac{10^{x}-1}{10^{x}+1}$，並非選項所寫的式子，$(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)(4)$。