因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(2,2)$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=\overset{\large\rightharpoonup}{v}+(2,2)$；又因為 $|(2,2)|=2\sqrt{2}$，所以 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=2\sqrt{2}$。
1. 選項 $(1)$ 說 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}+(1,1)|=1$。因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}+\overset{\large\rightharpoonup}{v}=2\overset{\large\rightharpoonup}{v}+(2,2)=2\left(\overset{\large\rightharpoonup}{v}+(1,1)\right)$，所以 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}+\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=2\left|\overset{\large\rightharpoonup}{v}+(1,1)\right|=2$，兩邊同除以 $2$ 得 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}+(1,1)|=1$，$(1)$ 正確。
2. 選項 $(2)$ 說 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}=-1$。因為恆等式 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}+\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2-|\overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2=4\,\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}$，代入 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}+\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=2$ 與 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=2\sqrt{2}$，所以 $4-8=4\,\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}$，得 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}=-1$，$(2)$ 正確。
3. 選項 $(3)$ 說 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\le 2$。因為由第 $1$ 點知 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的終點落在圓心 $(-1,-1)$、半徑 $1$ 的圓上，所以 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$ 的最大值等於圓心到原點的距離加上半徑，即 $\sqrt{2}+1$；又因為 $\sqrt{2}>1$，所以 $\sqrt{2}+1>2$，$|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$ 可以超過 $2$，$(3)$ 錯誤。
4. 選項 $(4)$ 說 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 不可能與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 平行。因為若兩者平行，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(2,2)$ 也與它們同方向，可設 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=s(1,1)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{v}=t(1,1)$；由 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(2,2)$ 得 $s-t=2$，由 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}+\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=2$ 得 $|s+t|\sqrt{2}=2$，即 $s+t=\pm\sqrt{2}$。取 $s+t=\sqrt{2}$ 解得 $s=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$、$t=\frac{\sqrt{2}-2}{2}$，兩者都是實數，所以平行的情形確實存在，$(4)$ 錯誤。
5. 選項 $(5)$ 說若夾角為 $\theta$ 則 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\sin\theta\le 2\sqrt{2}$。因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\sin\theta$ 等於兩向量張成的平行四邊形面積，也等於 $|u_xv_y-u_yv_x|$；設 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(v_x,v_y)$，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=(v_x+2,\,v_y+2)$，所以
$$|u_xv_y-u_yv_x|=\left|(v_x+2)v_y-(v_y+2)v_x\right|=2\left|v_y-v_x\right|.$$
又因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的終點在圓 $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ 上，可設 $v_x=-1+\cos t$、$v_y=-1+\sin t$，所以 $v_y-v_x=\sin t-\cos t=\sqrt{2}\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)$，其絕對值最大為 $\sqrt{2}$，得 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\sin\theta\le 2\sqrt{2}$，$(5)$ 正確。
故選 $(1)(2)(5)$。
另解
1. 設 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 的終點為 $P=(x,y)$。因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(2,2)$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的終點為 $Q=(x-2,\,y-2)$。
2. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}+\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的終點為 $R=(2x-2,\,2y-2)$ 且 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}+\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=2$，所以 $(2x-2)^2+(2y-2)^2=4$，化簡得 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$。
3. 因此 $P$ 落在圓心 $(1,1)$、半徑 $1$ 的圓上；又因為 $Q$ 是 $P$ 平移 $(-2,-2)$ 而得，所以 $Q$ 落在圓心 $(-1,-1)$、半徑 $1$ 的圓上——這正是主解答第 $1$ 點 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}+(1,1)|=1$ 的幾何說法，選項 $(1)$ 由此一眼可見。
4. 令 $P=(1+\cos t,\,1+\sin t)$，則 $R=2P-(2,2)=(2\cos t,\,2\sin t)$，所以 $R$ 恆落在以原點為圓心、半徑 $2$ 的圓上。
5. 因為 $Q$ 在圓心 $(-1,-1)$、半徑 $1$ 的圓上，所以 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$ 的最大值為圓心到原點的距離加半徑，即 $\sqrt{2}+1$，選項 $(3)$ 錯誤。
6. 因為外積的絕對值為 $2|v_y-v_x|$，而 $Q$ 在該圓上時 $|v_y-v_x|$ 最大為 $\sqrt{2}$，所以面積上界為 $2\sqrt{2}$，選項 $(5)$ 正確。
結論與主解答相同，故選 $(1)(2)(5)$。