113分科測驗數學甲多選第6題詳解

由向量恆等式 $$|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|^2|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2 =(\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v})^2 +|\overset{\large\rightharpoonup}{u}\times\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2.$$ 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}=15$、 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}\times\overset{\large\rightharpoonup}{v}| =\sqrt{(-1)^2+0^2+3^2}=\sqrt{10}$， 所以 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|^2|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2 =15^2+10=235$， 得 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}| =\sqrt{235}$。 $(1)$ 因為 $\cos\theta=\frac{15}{\sqrt{235}}$， 而 $\frac{15}{\sqrt{235}}>\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos\frac{\pi}{4}$ （兩邊平方：$\frac{225}{235}>\frac{1}{2}$）， 所以 $\theta<\frac{\pi}{4}$，非大於 $\frac{\pi}{4}$，錯誤。 $(2)$ 若 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=(1,0,-1)$， 則 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}\times\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的第一分量與第三分量同為 $v_2$， 但已知外積的第一、三分量分別為 $-1$ 與 $3$，兩者不同， 所以不可能，錯誤。 $(3)$ 由算幾不等式， $$|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|+|\overset{\large\rightharpoonup}{v}| \ge 2\sqrt{|\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}|} =2\sqrt[4]{235}.$$ 因為 $235>25$，所以 $\sqrt[4]{235}>\sqrt[4]{25}=\sqrt{5}$， 因此 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|+|\overset{\large\rightharpoonup}{v}| >2\sqrt{5}$，當然 $\ge 2\sqrt{5}$，正確。 $(4)$ 已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$、內積與外積時， 因為內積給定投影長度、外積給定垂直分量， 所以可由向量恆等式唯一還原 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$，正確。 $(5)$ 已知 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|+|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=S$ 與 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}| =\sqrt{235}=P$， 則 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|$ 和 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$ 為方程式 $t^2-St+P=0$ 的兩根。 因為兩根可交換，所以無法唯一決定 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|$，錯誤。 故選 $(3)(4)$。