113分科測驗數學甲多選第7題詳解

$f(x)=x^5-5x^3+5x^2+5$。 1. 因為 $$f'(x)=5x^4-15x^2+10x=5x(x^3-3x+2)=5x(x-1)^2(x+2),$$ 所以 $f'(1)=5\cdot 1\cdot 0\cdot 3=0$，$(1)$ 正確。 2. 在閉區間 $[0,2]$ 上，因為 $f'(x)=5x(x-1)^2(x+2)$ 各因式皆非負， 所以 $f'(x)\ge 0$，$y=f(x)$ 在閉區間 $[0,2]$ 上遞增，$(2)$ 正確。 3. 因為 $f''(x)=20x^3-30x+10$， 在閉區間 $[0,2]$ 上 $f''(0)=10>0$ 但 $f''(1)=0$， 符號不全為正，所以非全程凹向上，$(3)$ 錯誤。 4. 因為 $g(x)=\sin\bigl(\frac{\pi x}{3}+\frac{\pi}{2}\bigr)$ 的週期為 $\frac{2\pi}{\pi/3}=6$，而非 $6\pi$，所以 $(4)$ 錯誤。 5. 在閉區間 $[3,4]$ 上： 因為 $f'(x)=5x(x-1)^2(x+2)>0$（各因式皆正）； $$g'(x)=\frac{\pi}{3}\cos\bigl(\frac{\pi x}{3}+\frac{\pi}{2}\bigr) =-\frac{\pi}{3}\sin\bigl(\frac{\pi x}{3}\bigr).$$ 當 $x\in[3,4]$ 時，$\frac{\pi x}{3}\in[\pi,\frac{4\pi}{3}]$， $\sin\bigl(\frac{\pi x}{3}\bigr)\le 0$， 所以 $g'(x)\ge 0$。 因此兩函數在閉區間 $[3,4]$ 上皆遞增，$(5)$ 正確。 故選 $(1)(2)(5)$。