113分科測驗數學甲多選第8題詳解

$z^n=\alpha^n(\cos n\beta+i\sin n\beta)$， 所以 $x_n=\alpha^n\cos n\beta$、$y_n=\alpha^n\sin n\beta$。 $(1)$ 當 $\alpha=1$、$\beta=\frac{3\pi}{7}$ 時， 因為 $x_{10}=\cos\frac{30\pi}{7}=\cos\frac{2\pi}{7}$， 而 $x_3=\cos\frac{9\pi}{7}=-\cos\frac{2\pi}{7}$， 所以兩者不相等，錯誤。 $(2)$ 因為 $y_3=0$ 即 $\sin 3\beta=0$， 所以 $3\beta=k\pi$（$k$ 為整數），$6\beta=2k\pi$， 故 $\sin 6\beta=0$，即 $y_6=0$，正確。 $(3)$ 反例：因為可取 $\alpha^3=2$、$\cos 3\beta=\frac{1}{2}$， 此時 $x_3=1$， 但 $x_6=4\cos 6\beta=4(2\cos^2 3\beta-1)=4(2\cdot\frac{1}{4}-1)=-2\neq 1$， 所以錯誤。 $(4)$ 反例：因為可取 $\beta=0$、$\alpha=2$， 則 $y_n=0$（收斂），但 $\alpha=2>1$， 所以錯誤。 $(5)$ 若 $x_n=\alpha^n\cos n\beta$ 收斂，則有兩種可能： 第一種，$\alpha<1$，此時 $x_n\to 0$、$y_n\to 0$，$y_n$ 也收斂； 第二種，$\alpha=1$ 且 $\cos n\beta$ 為常數（$\beta=0$ 或 $\beta=\pi$）， 此時 $\sin n\beta=0$，$y_n=0$ 也收斂。 因此無論何種情況，只要 $x_n$ 收斂，$y_n$ 就一定收斂，正確。 故選 $(2)(5)$。