112分科測驗數學甲單選第3題詳解

1. 將 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{4+\frac{9k^2}{n^2}}$ 視為黎曼和： 令 $x_k=\frac{3k}{n}$，則 $\Delta x=\frac{3}{n}$， $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{4+\frac{9k^2}{n^2}}=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\sqrt{4+x_k^2}\,\Delta x.$$ 2. 因為當 $n\to\infty$ 時，黎曼和趨近於定積分，所以 $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{4+\frac{9k^2}{n^2}}=\frac{1}{3}\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx.$$ 此即 $\frac{1}{3}\times$ 選項 $(3)$ 的積分值。 故選 $(3)$。