112分科測驗數學甲多選第4題詳解

1. 不等式 $|x-a|\le b$ 的解集為區間 $[a-b,\,a+b]$。因為 $-3,-1,4,7$ 都在此解集中，所以區間 $[a-b,\,a+b]$ 至少涵蓋區間 $[-3,7]$。 2. 因為 $\sqrt{10}$ 介於 $-3$ 與 $7$ 之間，所以 $\sqrt{10}$ 也滿足不等式，故 $(1)$ 正確。 若 $x$ 滿足 $|x-a|\le b$，令 $y=-x$，則 $|y+a|=|-x+a|=|x-a|\le b$， 所以 $3,1,-4,-7$ 都滿足 $|x+a|\le b$，故 $(2)$ 正確。 3. $(3)$ 錯誤：例如取 $a=2,b=5$ 時，原解集為區間 $[-3,7]$， 但 $|x-2|\le\frac{5}{2}$ 的解集為區間 $[-\frac{1}{2},\frac{9}{2}]$，不含 $-\frac{3}{2}$。 因為原解集長度至少為 $10$，而解集長 $2b$，所以 $2b\ge10$，得 $b\ge5$，$b$ 不可能等於 $4$，故 $(4)$ 錯誤。 若 $a=b$，解集為區間 $[0,2b]$，不可能包含負數 $-3$，故 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(2)$。