112分科測驗數學甲多選第5題詳解

1. 因為 $f(x)$ 為實係數多項式，若 $1+2i$ 是根，則其共軛複數 $1-2i$ 也是根，故 $(1)$ 正確。 2. 由 $(1)$，$x^2-2x+5$ 為 $f(x)$ 的因式。 設 $f(x)=(x^2-2x+5)(x^2+px+q)$，比較係數： $$\begin{aligned} p-2&=-4\implies p=-2, \\[4pt] q-2p+5&=-2\implies q=-11. \end{aligned}$$ 所以 $f(x)=(x^2-2x+5)(x^2-2x-11)$，展開得 $a=12$、$b=-55$。 因為 $a>0$ 但 $b<0$，並非皆為正數，故 $(2)$ 錯誤。 3. 令 $y=x^2-2x$，則 $f=(y+5)(y-11)$，$f'=(2x-2)(2y-6)$。 當 $x=2.1$ 時，$y=2.1^2-2(2.1)=0.21$，$f'(2.1)=2.2\cdot(0.42-6)<0$，故 $(3)$ 正確。 4. 在 $x=1$ 附近，$y=(x-1)^2-1$，$f=(y+5)(y-11)$ 在 $x=1$ 取得局部極大而非局部極小，故 $(4)$ 錯誤。 $f''(x)=12x^2-24x-4$，其零點為 $1\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$，其中 $1-\frac{2\sqrt{3}}{3}<0$，故反曲點的 $x$ 坐標不全大於 $0$，$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(3)$。