111學測數學A多選第7題詳解

已知 $|5n-21|\ge 7|n|$，$n$ 為整數。 因為兩邊皆非負，平方不改變不等號方向： $$(5n-21)^2\ge 49n^2$$ 展開得 $25n^2-210n+441\ge 49n^2$，移項得 $24n^2+210n-441\le 0$，即 $8n^2+70n-147\le 0$。 解二次方程式 $8n^2+70n-147=0$，判別式為 $70^2-4\cdot 8\cdot(-147)=4900+4704=9604=98^2$，兩根為 $$n=\frac{-70\pm 98}{16}$$ 得 $n=\frac{7}{4}$ 或 $n=-\frac{21}{2}$。因為二次項係數為正，不等式 $8n^2+70n-147\le 0$ 的解為 $-\frac{21}{2}\le n\le\frac{7}{4}$。因為 $n$ 為整數，所以 $n=-10,-9,\ldots,1$，共 $12$ 個整數解。 逐項比對各選項： 選項 $(1)$：$|5n-7n|\ge 21$ 即 $|2n|\ge 21$。因為取 $n=1$（滿足原條件）時 $|2|\ge 21$ 不成立，所以 $(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$-1\le\frac{7n}{5n-21}\le 1$ 即 $|7n|\le|5n-21|$。因為此式與原條件 $|5n-21|\ge 7|n|$ 等價（$n$ 為整數時分母不為 $0$），所以 $(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$7n\le 5n-21$ 即 $2n\le-21$，得 $n\le-\frac{21}{2}$。因為 $n=-9$（滿足原條件）不滿足此式，所以 $(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$(5n-21)^2\ge 49n^2$。因為兩邊皆非負且平方不改變不等號方向，此式與原條件等價，所以 $(4)$ 正確。 選項 $(5)$：滿足題設不等式的整數 $n$ 有無窮多個。因為實際上只有 $12$ 個整數解（$n=-10$ 到 $n=1$），所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(4)$。