111學測數學A多選第8題詳解

$A(0,2)$，$B(1,0)$，$C(4,1)$。 計算三邊長平方： $$\overline{AB}^2=(1-0)^2+(0-2)^2=5,\;\overline{BC}^2=(4-1)^2+(1-0)^2=10,\;\overline{AC}^2=(4-0)^2+(1-2)^2=17$$ 因為 $\overline{AC}^2=17$ 最大，所以最長邊為 $\overline{AC}$。選項 $(1)$ 正確。 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(1-0,\;0-2)=(1,-2)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{AC}=(4-0,\;1-2)=(4,-1)$。$\triangle ABC$ 的面積： $$\frac{1}{2}\left|\det\!\left(\overset{\large\rightharpoonup}{AB},\overset{\large\rightharpoonup}{AC}\right)\right| =\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}1 & 4\\-2 & -1\end{pmatrix}\right| =\frac{1}{2}\bigl|1\cdot(-1)-4\cdot(-2)\bigr|=\frac{7}{2}$$ 由面積公式 $\frac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cdot\sin B=\frac{7}{2}$，即 $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\sin B=\frac{7}{2}$，得 $\sin B=\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$。選項 $(4)$ 正確。 因為 $\overline{AB}^2+\overline{BC}^2=5+10=15<17=\overline{AC}^2$，所以 $\angle B>90^\circ$，$\triangle ABC$ 為鈍角三角形。選項 $(3)$ 錯誤。 由正弦定理 $\frac{\overline{BC}}{\sin A}=\frac{\overline{AB}}{\sin C}$，即 $\frac{\sqrt{10}}{\sin A}=\frac{\sqrt{5}}{\sin C}$，所以 $\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}>1$，得 $\sin A>\sin C$。選項 $(2)$ 錯誤。 外接圓半徑 $R=\frac{\overline{AC}}{2\sin B}=\frac{\sqrt{17}}{2\cdot\frac{7\sqrt{2}}{10}}=\frac{5\sqrt{17}}{7\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{34}}{14}$。檢驗 $R<2$ 是否成立：$\frac{5\sqrt{34}}{14}<2\iff 5\sqrt{34}<28\iff 850<784$，矛盾，所以 $R>2$。選項 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(4)$。