111學測數學A非選第19題詳解

掃描棒停止時黑端在 $A'$，白端在 $B'$。由題意可知 $A'$ 在內圓 $C_1$（半徑 $\sqrt{3}$）上，$B'$ 在外圓 $C_2$（半徑 $2$）上，且 $\overline{A'B'}=1$。 1. 在 $\triangle OA'B'$ 中，$\overline{OA'}=\sqrt{3}$，$\overline{OB'}=2$，$\overline{A'B'}=1$。因為 $$\overline{OA'}^2+\overline{A'B'}^2=3+1=4=\overline{OB'}^2,$$ 所以 $\angle OA'B'=90^\circ$，即 $\cos\angle OA'B'=0$。 2. 由圖形與題目條件可確定 $A'$ 的位置在第二象限，方向角為 $\frac{5\pi}{6}$（$150^\circ$）。 因此 $A'$ 的極坐標為 $(\sqrt{3},\;\frac{5\pi}{6})$。 故 $\cos\angle OA'B'=0$，$A'$ 的極坐標為 $(\sqrt{3},\frac{5\pi}{6})$。