112學測數學A非選第19題詳解

(1) 求 $P$ 點坐標： 因為 $\sin\theta=\frac{3}{5}$ 且 $\theta$ 為銳角，所以 $\cos\theta=\frac{4}{5}$。 由第 $18$ 題，$\overline{OP}=2\cos\theta=\frac{8}{5}$。 $P$ 點的極坐標為 $(\frac{8}{5},\theta)$，因此 $$P=\left(\frac{8}{5}\cos\theta,\;\frac{8}{5}\sin\theta\right)=\left(\frac{8}{5}\cdot\frac{4}{5},\;\frac{8}{5}\cdot\frac{3}{5}\right)=\left(\frac{32}{25},\frac{24}{25}\right).$$ (2) 求 $Q$ 點坐標： 因為 $\angle POQ=90^\circ$，所以 $\overline{OQ}$ 與 $\overline{OP}$ 垂直。 $Q$ 在第二象限，其極角為 $\theta+90^\circ$。 因為 $\overline{BQ}=\overline{OB}=2$，且 $B=(-2,0)$，$Q$ 在 $B$ 為圓心、半徑 $2$ 的圓上。 由 $\triangle OBQ$ 為等腰三角形（$\overline{OB}=\overline{BQ}=2$）， 底角 $\angle QOB=\theta$（因為 $\angle POQ=90^\circ$ 且 $\angle AOP=\theta$）， 所以 $\overline{OQ}=2\cdot2\cos(90^\circ-\theta)=4\sin\theta=\frac{12}{5}$。 $Q$ 的極坐標為 $(\frac{12}{5},\theta+90^\circ)$： $$\begin{aligned} Q&=\left(\frac{12}{5}\cos(\theta+90^\circ),\;\frac{12}{5}\sin(\theta+90^\circ)\right) \\[4pt] &=\left(-\frac{12}{5}\sin\theta,\;\frac{12}{5}\cos\theta\right) \\[4pt] &=\left(-\frac{12}{5}\cdot\frac{3}{5},\;\frac{12}{5}\cdot\frac{4}{5}\right)=\left(-\frac{36}{25},\frac{48}{25}\right). \end{aligned}$$ (3) 證明 $\overset{\large\rightharpoonup}{BQ}=2\overset{\large\rightharpoonup}{AP}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AP}=P-A=\left(\frac{32}{25}-1,\frac{24}{25}\right)=\left(\frac{7}{25},\frac{24}{25}\right).$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{BQ}=Q-B=\left(-\frac{36}{25}+2,\frac{48}{25}\right)=\left(\frac{14}{25},\frac{48}{25}\right).$$ 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{BQ}=\left(\frac{14}{25},\frac{48}{25}\right)=2\left(\frac{7}{25},\frac{24}{25}\right)=2\overset{\large\rightharpoonup}{AP}$， 所以得證。