110指考數學乙非選第11題詳解

（1）因為 $A(-3,4)$、$B(3,2)$，所以 $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(3-(-3),\;2-4)=(6,-2)$$ 因此 $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{n}=(6,-2)\cdot(4,-3)=6\times4+(-2)\times(-3)=24+6=30$$ （2）設 $L:4x-3y+k=0$（因為法向量為 $(4,-3)$）。 $A$ 到 $L$ 的距離：$d_A=\frac{|4\cdot(-3)-3\cdot4+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|k-24|}{5}$。 $B$ 到 $L$ 的距離：$d_B=\frac{|4\cdot3-3\cdot2+k|}{5}=\frac{|k+6|}{5}$。 因為 $d_A=5d_B$，所以 $|k-24|=5|k+6|$。 又因為 $A$、$B$ 在直線 $L$ 的兩側，代入 $L$ 的方程應得一正一負，即 $(4\cdot(-3)-3\cdot4+k)$ 與 $(4\cdot3-3\cdot2+k)$ 異號，亦即 $(k-24)$ 與 $(k+6)$ 異號，所以 $-6<k<24$。 解 $|k-24|=5|k+6|$： 若 $k\ge24$，則 $k-24=5(k+6)\implies k-24=5k+30\implies -4k=54\implies k=-13.5$，不在範圍內，捨去。 若 $-6<k<24$，則 $24-k=5(k+6)\implies 24-k=5k+30\implies -6k=6\implies k=-1$。 若 $k\le-6$，則 $24-k=-5(k+6)\implies 24-k=-5k-30\implies 4k=-54\implies k=-13.5$，不在範圍內，捨去。 因此 $k=-1$，直線 $L$ 的方程式為 $4x-3y-1=0$。 （3）因為 $\overline{PA}=\overline{PB}$，所以 $P$ 在 $\overline{AB}$ 的垂直平分線上。 $\overline{AB}$ 的中點為 $M\left(\frac{-3+3}{2},\frac{4+2}{2}\right)=(0,3)$。 $\overline{AB}$ 的斜率為 $\frac{2-4}{3-(-3)}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$，所以垂直平分線的斜率為 $3$，方程式為 $y-3=3(x-0)$，即 $3x-y=-3$。 $P$ 亦在 $L:4x-3y=1$ 上。聯立求解： $$\begin{cases}3x-y=-3\\4x-3y=1\end{cases}$$ 由第一式 $y=3x+3$，代入第二式：$4x-3(3x+3)=1$，即 $4x-9x-9=1$，$-5x=10$，$x=-2$。 代回得 $y=3\cdot(-2)+3=-3$。 所以 $P$ 點坐標為 $(-2,-3)$。 故 （1）$30$； （2）$4x-3y-1=0$； （3）$(-2,-3)$。