110指考數學乙選填第10題詳解

1. 設正面次數為 $r$，則反面次數為 $6-r$。 2. 每擲正面移動 $(-1,2)$，每擲反面移動 $(1,0)$，所以終點坐標為： $$r(-1,2)+(6-r)(1,0)=(-r+6-r,\;2r)=(6-2r,\;2r)$$ 3. 因為 $r\sim B(6,\frac{1}{3})$，$r$ 的機率質量函數為 $P(r=k)=C^6_k\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^{6-k}$。 4. 計算各 $r$ 值的機率： $r=0$：$C^6_0\left(\frac{2}{3}\right)^6=\frac{64}{729}$ $r=1$：$C^6_1\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^5=6\times\frac{32}{729}=\frac{192}{729}$ $r=2$：$C^6_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^4=15\times\frac{16}{729}=\frac{240}{729}$（最大） $r=3$：$C^6_3\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^3=20\times\frac{8}{729}=\frac{160}{729}$ 其餘 $r=4,5,6$ 的機率更小。 5. 因為 $r=2$ 時機率最大，此時終點為 $(6-2\times2,\;2\times2)=(2,4)$。 故填 $2,4$。