103學測數學多選第9題詳解

因為物體從第二象限的點 $(-3,6)$ 出發，沿著向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (x_0, y_0)$ 連續前進。在時間 $t > 0$ 時，物體的位置可表示為：$$P(t) = (-3 + t x_0, \ 6 + t y_0)$$若要能進入第一象限，必須存在某個 $t > 0$，使得：$$-3 + t x_0 > 0 \ \text{且} \ 6 + t y_0 > 0$$1. 由 $-3 + t x_0 > 0$ 且 $t > 0$，推得必有 $x_0 > 0$。故可直接排除選項 $(5)$（其 $x_0 = -0.001 < 0$）。 2. 當 $x_0 > 0$ 時，必須滿足 $t > \frac{3}{x_0}$。為使此範圍內的 $t$ 能滿足 $6 + t y_0 > 0$，我們考慮極限情況 $t \to \frac{3}{x_0}^+$，此時有：$$6 + \left(\frac{3}{x_0}\right) y_0 > 0 \implies 2 + \frac{y_0}{x_0} > 0 \implies \frac{y_0}{x_0} > -2$$我們以此條件檢驗各選項的斜率 $\frac{y_0}{x_0}$： - 選項 $(1)$: $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (1, -2) \implies \frac{y_0}{x_0} = -2$，不符合。 - 選項 $(2)$: $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (1, -1) \implies \frac{y_0}{x_0} = -1 > -2$，符合。 - 選項 $(3)$: $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (0.001, 0) \implies \frac{y_0}{x_0} = 0 > -2$，符合。 - 選項 $(4)$: $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (0.001, 1) \implies \frac{y_0}{x_0} = 1000 > -2$，符合。 所以選 $(2)$(3)$(4)$。