114學測數學A選填第15題詳解

投擲均勻硬幣至多 $5$ 次，累積 $3$ 個正面即停止。 1. 計算各情況的機率： - 前 $3$ 次全正面（立刻 $3$ 正面）：因為每次正面機率為 $\frac{1}{2}$，所以機率為 $\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$。 - 前 $3$ 次恰 $2$ 正面，第 $4$ 次正面：前 $3$ 次中恰有 $2$ 正面的機率為 $C^3_2\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8}$，第 $4$ 次正面的機率為 $\frac{1}{2}$，所以機率為 $\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{16}$。 - 前 $4$ 次恰 $2$ 正面，第 $5$ 次正面：前 $4$ 次中恰有 $2$ 正面的機率為 $C^4_2\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$，第 $5$ 次正面的機率為 $\frac{1}{2}$，所以機率為 $\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{16}$。 - $5$ 次仍未累積 $3$ 正面：餘下機率為 $1-\frac{1}{8}-\frac{3}{16}-\frac{3}{16}=1-\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。 2. 計算期望值： $$\begin{aligned} E&=240\times\frac{1}{8}+320\times\frac{3}{16}+400\times\frac{3}{16}+480\times\frac{1}{2} \\[4pt] &=30+60+75+240=405. \end{aligned}$$ 故填 $405$。