1. 取 $O$ 為原點 $(0,0,0)$，則其餘七個頂點的坐標為三個分量各取 $0$ 或 $1$（不全為 $0$）。依分量中 $1$ 的個數分類：
- 恰 $1$ 個 $1$：$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$，共 $3$ 個。
- 恰 $2$ 個 $1$：$(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$，共 $3$ 個。
- 恰 $3$ 個 $1$：$(1,1,1)$，共 $1$ 個。
2. 因為從 $7$ 個頂點中選 $2$ 個，共有 $C^7_2=21$ 種等機率的選法，所以期望值為所有配對內積的總和除以 $21$。
兩個向量內積等於對應分量同為 $1$ 的位置數。
3. 計算各類配對的內積和：
- $(1,1,1)$ 與其餘 $6$ 個頂點的內積和：$1+1+1+2+2+2=9$。
- 三個「恰 $1$ 個 $1$」頂點之間的內積：兩兩內積皆為 $0$，總和 $0$。
- 三個「恰 $2$ 個 $1$」頂點之間的內積：兩兩恰有一個共同分量為 $1$，總和 $3$。
- 「恰 $1$ 個 $1$」與「恰 $2$ 個 $1$」之間的內積：
若 $1$ 的位置被包含則內積 $1$，否則 $0$。$(1,0,0)$ 與 $(1,1,0),(1,0,1)$ 內積 $1$，與 $(0,1,1)$ 內積 $0$。同理輪換，總和 $6$。
4. 總內積和 $=9+0+3+6=18$，期望值為 $\frac{18}{21}=\frac{6}{7}$。
故選 $(3)$。