114學測數學A選填第14題詳解

$A(a,b,c)$ 到三平面的距離皆為 $6$（$a,b,c<0$）。 到 $E_1:4y+3z=2$：$\frac{|4b+3c-2|}{5}=6$，$|4b+3c-2|=30$。 到 $E_2:3y+4z=-5$：$\frac{|3b+4c+5|}{5}=6$，$|3b+4c+5|=30$。 到 $E_3:x+2y+2z=-2$：$\frac{|a+2b+2c+2|}{3}=6$，$|a+2b+2c+2|=18$。 因為 $b,c<0$，判斷 $4b+3c-2$ 必為負，取 $4b+3c-2=-30$。對 $3b+4c+5$，兩式聯立求解 $b,c$：將 $4b+3c=-28$ 與 $3b+4c=-35$ 聯立（取負的一支使 $b,c<0$），解得 $b=-1$，$c=-8$。驗算：$4(-1)+3(-8)-2=-4-24-2=-30$，$|{-30}|=30$ 符合；$3(-1)+4(-8)+5=-3-32+5=-30$，$|{-30}|=30$ 符合。 然後 $a+2(-1)+2(-8)+2=a-2-16+2=a-16$，$|a-16|=18$。因為 $a<0$，$a-16<0$，所以 $a-16=-18$，$a=-2$。 因此 $a=-2$、$b=-1$、$c=-8$，$a+b+c=-11$。 故填 $-11$。