103指考數學甲多選第7題詳解

$(1)$ 三場結束代表同隊連勝三場，機率為 $p^3 + (1-p)^3$，正確。 $(2)$ $f(p)$ 為比賽場數的期望值。因為賽制對稱（將 $p$ 換成 $1-p$ 只是甲乙互換），所以 $f(p) = f(1-p)$，圖形對稱於 $p = \frac{1}{2}$，錯誤。 $(3)$ 當 $p = \frac{1}{2}$ 時，兩隊實力最接近，比賽最可能打滿五場，因此 $f(\frac{1}{2})$ 為最大值，正確。 $(4)$ $f(p)$ 展開後常數項可計算： 比賽場數為 $3$ 的機率 $= p^3+(1-p)^3 = 1 - 3p + 3p^2$ 比賽場數為 $4$ 的機率 $= C^3_1 p^3(1-p) + C^3_1 p(1-p)^3 = 3p^3(1-p) + 3p(1-p)^3$ 比賽場數為 $5$ 的機率 $= C^4_2 p^3(1-p)^2 + C^4_2 p^2(1-p)^3 = 6p^3(1-p)^2 + 6p^2(1-p)^3$ $f(p) = 3 \cdot 區間 $[p^3+(1-p)^3]$ + 4 \cdot 區間 $[3p^3(1-p)+3p(1-p)^3]$ + 5 \cdot [6p^3(1-p)^2+6p^2(1-p)^3]$ 常數項為 $3$，正確。 $(5)$ 最高次項為 $p$ 的 $4$ 次方（不是 $5$ 次方），錯誤。 因此正確選項為 $(1)$(3)$(4)$。