103指考數學甲多選第6題詳解

$f(x) = 4x^3 - 11x^2 + 6x = x(4x^2 - 11x + 6) = x(4x-3)(x-2)$。 $(1)$ $f(x)=0$ 的實根為 $x=0$、$x=\frac{3}{4}$、$x=2$，共 $3$ 個，錯誤。 $(2)$ $f'(x) = 12x^2 - 22x + 6$。令 $f'(x)=0$，得 $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = 1$。 $f(\frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{8} - 11 \cdot \frac{1}{4} + 6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{11}{4} + 3 = \frac{5}{4}$（相對極大）。 $f$(1)$ = 4-11+6 = -1$（相對極小）。 $f$(2)$ = 0$。$f$(3)$ = 108-99+18 = 27$。 所以在 $x \in [0,3]$ 上最大值為 $f$(3)$=27$，最小值為 $f$(1)$=-1$，相差 $28$，不是 $26$，錯誤。 $(3)$ $f(\frac{3}{2}) = 4 \cdot \frac{27}{8} - 11 \cdot \frac{9}{4} + 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} - \frac{99}{4} + 9 = \frac{54-99+36}{4} = -\frac{9}{4}$，正確。 $(4)$ 因為 $f(x)=0$ 的最大根為 $2$，且當 $x > 2$ 時 $x > 0$、$(4x-3) > 0$、$(x-2) > 0$，所以 $f(x) > 0$。因為 $\pi > 2$，所以 $f(\pi) > 0$，正確。 $(5)$ 由 $f'(x)$ 符號可知 $f$ 在 $(-\infty, \frac{1}{2})$ 遞增、$(\frac{1}{2}, 1)$ 遞減、$(1, \infty)$ 遞增，所以只有一個相對極大和一個相對極小，沒有兩個相對極小，錯誤。 因此正確選項為 $(3)(4)$。