106指考數學甲單選第4題詳解

根據微積分基本定理，定積分 $$\int_{1}^{4} f''(x) \, dx = f'(4) - f'(1)$$ 因為三次多項式 $f(x)$ 在 $x=1$ 處有極值，且 $f(x)$ 在實數上處處可導，故極值點的一階導數為零，即 $f'(1) = 0$。 圖形 $y=f(x)$ 在 $(4,f(4))$ 的切線方程式為 $y-f(4)+5(x-4)=0$，移項整理得： $$y - f(4) = -5(x-4)$$ 這表示切線的斜率為 $-5$，故一階導數值 $f'(4) = -5$。 因此，定積分之值 $$\int_{1}^{4} f''(x) \, dx = f'(4) - f'(1) = -5 - 0 = -5$$ 故正確選項為 $(1)$。