109學測數學多選第9題詳解

因為 $P,Q$ 在圓 $\Gamma$（半徑 $2$，圓心 $O$）上，所以 $|\overset{\large\rightharpoonup}{OP}|=|\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}|=2$。 若 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}$ 的夾角為 $\phi$，則內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}=2\times 2\times\cos\phi=4\cos\phi$。 直線 $L$ 通過原點，$\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 與 $L$ 夾銳角 $30^\circ$，表示 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 的方向可以是與 $L$ 夾 $+30^\circ$ 或 $-30^\circ$，以及它們的反方向（亦夾 $30^\circ$）。因此共有四個可能方向，兩兩夾角可能為 $60^\circ$、$120^\circ$ 或 $180^\circ$。 計算對應的內積： $\phi=60^\circ$ 時，內積 $=4\cos 60^\circ=4\times\frac{1}{2}=2$。 $\phi=120^\circ$ 時，內積 $=4\cos 120^\circ=4\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-2$。 $\phi=180^\circ$ 時，內積 $=4\cos 180^\circ=4\times(-1)=-4$。 選項中可能發生者為 $-2$ 與 $-4$。 故選 $(4)(5)$。