109學測數學多選第10題詳解

$f(x)=3x^4+11x^2-4$。 選項 $(1)$：$y$ 軸交點即 $x=0$ 時的函數值，因為 $f(0)=-4<0$，所以交點的 $y$ 坐標小於 $0$。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：令 $t=x^2\ge 0$，則 $f(x)=3t^2+11t-4=0$。因為判別式 $11^2-4\times 3\times(-4)=121+48=169>0$，所以 $t=\frac{-11\pm 13}{6}$，得 $t=\frac{1}{3}$ 或 $t=-4$。因為 $t=x^2\ge 0$，所以僅 $t=\frac{1}{3}$ 給出 $x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$，共 $2$ 個實根而非 $4$ 個。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：二實根為 $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$，皆為無理數，故無有理根。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：因為 $\sqrt{3}>1$，所以 $\frac{1}{\sqrt{3}}<1$；又 $\frac{1}{\sqrt{3}}>0$ 顯然成立，故 $0<\frac{1}{\sqrt{3}}<1$，即有一根介於 $0$ 與 $1$ 之間。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：兩根為 $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$，因為 $\frac{1}{\sqrt{3}}<1$，所以兩根的絕對值皆小於 $1$，故無根介於 $1$ 與 $2$ 之間。$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(4)$。