109學測數學多選第11題詳解

由 $\log a=1.1$、$\log b=2.2$、$\log c=3.3$（此處 $\log$ 為常用對數），得 $a=10^{1.1}$、$b=10^{2.2}$、$c=10^{3.3}$。 選項 $(1)$：$a+c=10^{1.1}+10^{3.3}$，$2b=2\times 10^{2.2}$。因為 $a,c$ 與 $2b$ 無必然等式關係，且 $10^{3.3}\neq 2\times 10^{2.2}$（因 $10^{3.3}=10\times 10^{2.3}\neq 2\times 10^{2.2}$），所以 $a+c\neq 2b$。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：因為 $a=10^{1.1}>10^1=10$，所以 $a$ 不在區間 $(1,10)$ 內。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$c=10^{3.3}=10^3\times 10^{0.3}=1000\times 10^{0.3}$。比較 $10^{0.3}$ 與 $2$：因為 $2^{10}=1024>1000=10^3$，所以 $2>10^{$\frac{3}{10}$}=10^{0.3}$，即 $10^{0.3}<2$；又 $10^0=1<10^{0.3}$，故 $1<10^{0.3}<2$。因此 $1000<c<2000$。$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$b=10^{2.2}=(10^{1.1})^2=a^2$，而 $2a=2\times 10^{1.1}$。因為 $a=10^{1.1}>2$，所以 $a^2>2a$，即 $b>2a$，故 $b\neq 2a$。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：因為 $\frac{b}{a}=\frac{10^{2.2}}{10^{1.1}}=10^{1.1}$，$\frac{c}{b}=\frac{10^{3.3}}{10^{2.2}}=10^{1.1}$，兩比值相等，所以 $a,b,c$ 成等比數列。$(5)$ 正確。 故選 $(3)(5)$。