112學測數學A非選第20題詳解

(1) 求點 $A$ 到直線 $BQ$ 的距離： 由第 $19$ 題，$Q=\left(-\frac{36}{25},\frac{48}{25}\right)$，$B=(-2,0)$。 直線 直線 $BQ$ 的方向向量：$\overset{\large\rightharpoonup}{BQ}=\left(\frac{14}{25},\frac{48}{25}\right)$。 直線 $BQ$ 的斜率：$m=\frac{\frac{48}{25}}{\frac{14}{25}}=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}$。 直線 $BQ$ 過 $B(-2,0)$，方程式為： $$y=\frac{24}{7}(x+2)\implies24x-7y+48=0.$$ 點 $A(1,0)$ 到直線 $BQ$ 的距離： $$d=\frac{|24\cdot1-7\cdot0+48|}{\sqrt{24^2+(-7)^2}}=\frac{72}{\sqrt{625}}=\frac{72}{25}.$$ (2) 求四邊形 $PABQ$ 的面積： 因為由第 $19$ 題知 $\overset{\large\rightharpoonup}{BQ}=2\overset{\large\rightharpoonup}{AP}$，所以 $\overline{AP}$ 平行 $\overline{BQ}$ 且同向， 因此 $PABQ$ 為梯形，兩底分別為 $\overline{AP}=1$，$\overline{BQ}=2$。 點 $A$ 到直線 $BQ$ 的距離即為梯形的高 $h=\frac{72}{25}$。 所以梯形面積為： $$\text{面積}=\frac{(\overline{AP}+\overline{BQ})\cdot h}{2}=\frac{(1+2)\cdot\frac{72}{25}}{2}=\frac{3\cdot72}{50}=\frac{108}{25}.$$ 答：(1) 點 $A$ 到直線 $BQ$ 的距離為 $\frac{72}{25}$；(2) 四邊形 $PABQ$ 面積為 $\frac{108}{25}$。