111學測數學A單選第18題詳解

📅 111 年 📝 學測數學A 第 18 題題型：單選課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$(4)$

本題考點：坐標幾何、三角函數、坐標化

18-20題為題組

坐標平面上有一環狀區域由圓 $x^2+y^2=3$ 的外部與圓 $x^2+y^2=4$ 的內部交集而成。欲用一支長度為 $1$ 的筆直掃描棒掃描此環狀區域之 $x$ 軸上方的某區域 $R$。掃描棒黑、白兩端分別在半圓 $C_1:x^2+y^2=3\ (y\ge 0)$、$C_2:x^2+y^2=4\ (y\ge 0)$ 上移動。開始時黑端在點 $A(\sqrt{3},0)$，白端在 $C_2$ 的點 $B$。黑、白兩端各沿 $C_1$、$C_2$ 逆時針移動，直到白端碰到 $C_2$ 的點 $B^{\prime}(-2,0)$ 便停止掃描。

試問點 $B$ 的坐標為下列哪一選項？（單選題，$3$ 分）

$(0,2)$
$(1,\sqrt{3})$
$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
$(\sqrt{3},1)$
$(2,0)$

坐標幾何三角函數

解題手法坐標化〔AI 推測〕

答案

$(4)$

答案取自 PDF 答案或評分參考頁。

詳解

掃描棒兩端點 $A,B$，其中 $A=(\sqrt{3},0)$，$\overline{AB}=1$，點 $B$ 在外圓 $C_2$ 上（半徑 $2$）。 1. 因為 $B$ 在 $C_2$ 上，所以 $\overline{OB}=2$。 2. 檢查 $\triangle OAB$ 的三邊長：$\overline{OA}=\sqrt{3}$，$\overline{AB}=1$，$\overline{OB}=2$。因為 $$\overline{OA}^2+\overline{AB}^2=3+1=4=\overline{OB}^2,$$ 由畢氏定理知 $\angle OAB=90^\circ$。 3. 因此 $\overline{OA}\perp\overline{AB}$。$A$ 在 $x$ 軸上，$\overline{OA}$ 沿 $x$ 軸方向，所以 $\overline{AB}$ 沿 $y$ 軸方向。因為 $\overline{AB}=1$ 且 $B$ 在第一象限（外圓上），所以 $B=(\sqrt{3},1)$。故選 $(4)$。

題目來源：民國111年學測數學A 第18題（來源PDF第7頁）

資料版本：2026-07-17（commit e3f5a492）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈111學測數學A單選第18題詳解〉，資料版本 2026-07-17，https://twmath.com/questions/111_02A_q18

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。