111學測數學A選填第17題詳解

底面三頂點為 $A=(-1,2,1)$，$B=(-4,1,3)$，$C=(2,0,-3)$。另一面之一頂點 $D$ 在 $xy$ 平面上（$z=0$）且與原點距離為 $1$（$x^2+y^2=1$）。 1. 計算底面兩鄰邊向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=B-A=(-3,-1,2),\; \overset{\large\rightharpoonup}{AC}=C-A=(3,-2,-4).$$ 2. 底面法向量： $$\begin{aligned} \overset{\large\rightharpoonup}{n}&=\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\times\overset{\large\rightharpoonup}{AC} \\[4pt] &=((-1)(-4)-2(-2),\;2\cdot3-(-3)(-4),\;(-3)(-2)-(-1)\cdot3) \\[4pt] &=(4+4,\;6-12,\;6+3)=(8,-6,9). \end{aligned}$$ 3. 平行六面體的體積為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{n}\cdot(D-A)|$。因為 $D=(x,y,0)$ 且 $x^2+y^2=1$，所以 $$\begin{aligned} V&=|8(x+1)-6(y-2)+9(0-1)| \\[4pt] &=|8x+8-6y+12-9| \\[4pt] &=|8x-6y+11|. \end{aligned}$$ 4. 在單位圓 $x^2+y^2=1$ 上求 $8x-6y+11$ 的最大值。令 $x=\cos\theta$，$y=\sin\theta$，則 $$8\cos\theta-6\sin\theta=10\left(\frac{4}{5}\cos\theta-\frac{3}{5}\sin\theta\right)=10\cos(\theta+\alpha),$$ 其中 $\cos\alpha=\frac{4}{5}$，$\sin\alpha=\frac{3}{5}$。所以 $8x-6y$ 的範圍在區間 $[-10,10]$ 內。 5. 因為 $V=|8x-6y+11|$，最大值發生在 $8x-6y=10$ 時，得 $V_{\max}=|10+11|=21$。 故填 $21$。