平面 $P:x-y+2z=3$ 上有兩相異直線 $L$ 和 $L'$。$L:\frac{x}{2}-1=y+1=-2z$ 也在平面 $E$ 上，且 $L'$ 在 $E$ 的投影與 $L$ 重合。
1. 將 $L$ 化為參數式：令 $\frac{x}{2}-1=y+1=-2z=t$，則
$$x=2(t+1)=2t+2,\; y=t-1,\; z=-\frac{t}{2}.$$
$L$ 的方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{d}=(2,1,-\frac{1}{2})$，可取 $(4,2,-1)$。
2. 因為 $L'$ 在 $E$ 的投影與 $L$ 重合，投影方向（即 $E$ 的法向量方向）必須沿 $P$ 上垂直於 $L$ 的方向。$E$ 的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n_E}$ 必須同時滿足：
- $\overset{\large\rightharpoonup}{n_E}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{d}$（因為 $L$ 在 $E$ 上）
- $\overset{\large\rightharpoonup}{n_E}$ 在 $P$ 上（因為投影方向沿 $P$）
3. 平面 $P$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n_P}=(1,-1,2)$。因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n_E}$ 在 $P$ 上，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{n_E}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{n_P}$。又 $\overset{\large\rightharpoonup}{n_E}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{d}$，所以
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n_E}\parallel\overset{\large\rightharpoonup}{n_P}\times\overset{\large\rightharpoonup}{d}.$$
$$\begin{aligned}
\overset{\large\rightharpoonup}{n_P}\times\overset{\large\rightharpoonup}{d}
&=(1,-1,2)\times(4,2,-1) \\[4pt]
&=((-1)(-1)-2\cdot2,\;2\cdot4-1\cdot(-1),\;1\cdot2-(-1)\cdot4) \\[4pt]
&=(1-4,\;8+1,\;2+4)=(-3,9,6).
\end{aligned}$$
可約簡為 $(-1,3,2)$ 或 $(1,-3,-2)$。
4. 因為 $E$ 包含 $L$，取 $L$ 上一點（$t=0$ 時 $x=2,y=-1,z=0$）代入 $E$ 的方程式求常數項。設 $E:x-3y-2z=k$，代入 $(2,-1,0)$：
$$2-3(-1)-2(0)=2+3=5.$$
所以 $E:x-3y-2z=5$。
故填 $x-3y-2z=5$。