112學測數學A選填第16題詳解

1. 平面 $E:x+z=2$ 的法向量為 $\vec{n}=(1,0,1)$。 2. 設 $P$ 在 $E$ 上的投影點為 $H$。因為 $H$ 與 $A,B,C$ 三點等距，所以 $H$ 是 $\triangle ABC$ 在平面 $E$ 上的外心。 令 $H=(x,y,2-x)$（因為 $H$ 在平面 $E$ 上）。 3. 由 $\overline{HA}^2=\overline{HB}^2$ 與 $\overline{HB}^2=\overline{HC}^2$： $\overline{HA}^2=(x-2)^2+(y+1)^2+(2-x)^2$， $\overline{HB}^2=x^2+(y-1)^2+(2-x-2)^2$， $\overline{HC}^2=(x+2)^2+(y-1)^2+(2-x-4)^2$。 由 $\overline{HA}^2=\overline{HB}^2$ 得 $x+y=-5$； 由 $\overline{HB}^2=\overline{HC}^2$ 得 $x=2$。 聯立解得 $H=(-1,-4,3)$。 4. 因為 $P$ 在平面 $z=1$ 上，且線段 $\overline{PH}$ 垂直於平面 $E$（即平行於 $\vec{n}$），所以 $$P=H+t(1,0,1).$$ $P$ 的 $z$ 坐標為 $3+t=1$，解得 $t=-2$。 因此 $P$ 到 $E$ 的距離為 $|t|\cdot\|\vec{n}\|=2\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。