112學測數學A選填第15題詳解

1. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$，所以可取 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 與$\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$ 為互相垂直的坐標軸， 令 $A=(a,0)$，$B=(0,b)$，其中 $a,b>0$。 2. 由 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}=\frac{3}{5}\overset{\large\rightharpoonup}{OA}+\frac{2}{5}\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$，得 $$C=\left(\frac{3a}{5},\frac{2b}{5}\right).$$ 3. 因為 $3\overline{AD}=8\overline{BD}$ 且 $D$ 在直線 $AB$ 上，$D$ 在 $B$ 的外側，所以 $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD}=\frac{8}{5}\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=\frac{8}{5}(-a,b),$$ 因此 $D=A+\overset{\large\rightharpoonup}{AD}=\left(a-\frac{8a}{5},\frac{8b}{5}\right)=\left(-\frac{3a}{5},\frac{8b}{5}\right)$。 4. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{OD}$，所以兩向量內積為 $0$： $$\frac{3a}{5}\cdot\left(-\frac{3a}{5}\right)+\frac{2b}{5}\cdot\frac{8b}{5}=0$$ $$-\frac{9a^2}{25}+\frac{16b^2}{25}=0$$ 所以 $16b^2=9a^2$，即 $\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$。 5. 因此 $\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}=\frac{3}{4}$。