112學測數學A選填第17題詳解

1. $L_1$ 通過點 $P_1(1,1,2)$，方向向量 $\vec{u}=(1,-1,1)$。 $L_2$ 通過點 $P_2(2,5,6)$，方向向量 $\vec{v}=(2,1,-1)$。 因為 $\vec{u}\cdot\vec{v}=2-1-1=0$，所以 $L_1\perp L_2$。 2. $L_3$ 同時與 $L_1,L_2$ 相交且垂直。 設 $L_3$ 與 $L_1$ 的交點為 $R=P_1+t\vec{u}$，與 $L_2$ 的交點為 $S=P_2+s\vec{v}$。 因為 $L_3\perp L_1$ 且 $L_3\perp L_2$，所以 $$(S-R)\cdot\vec{u}=0,\;(S-R)\cdot\vec{v}=0.$$ 3. 計算 $S-R=(1+2s-t,\;4+s+t,\;4-s-t)$。 由 $(S-R)\cdot\vec{u}=0$： $(1+2s-t)-(4+s+t)+(4-s-t)=0\implies1-2t=0\implies t=\frac{1}{2}$。 由 $(S-R)\cdot\vec{v}=0$： $2(1+2s-t)+(4+s+t)-(4-s-t)=0\implies2+6s=0\implies s=-\frac{1}{3}$。 4. 代入得 $S-R=(0,4,4)$，所以 $\overline{RS}=4\sqrt{2}$。 此即 $L_3$ 被 $L_1,L_2$ 截出的線段長度。 5. 因為 $P,Q$ 分別在 $L_1,L_2$ 上且與 $L_3$ 的距離皆為 $3$，而三直線 $L_1,L_2,L_3$ 兩兩垂直，所以 $$\overline{PQ}^2=3^2+3^2+(4\sqrt{2})^2=9+9+32=50,$$ 因此 $\overline{PQ}=5\sqrt{2}$。