114分科測驗數學甲選填第10題詳解

1. 設平面 $\Pi$ 的方程式為 $ax+by+cz+d=0$。 $\Pi$ 與平面 $x=0$（$yz$ 平面）的交線方向可取 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1=(0,c,-b)$。 $\Pi$ 與平面 $z=0$（$xy$ 平面）的交線方向可取 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_2=(b,-a,0)$。 2. 因為 $L_1\parallel L_2$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1\parallel\overset{\large\rightharpoonup}{v}_2$， $(0,c,-b)=k(b,-a,0)$，得 $b=0$。 將 $b=0$ 代入，$\Pi:ax+cz+d=0$。 3. 因為 $L_1$ 通過 $(0,2,-11)$，代入 $\Pi$ 得 $-11c+d=0$。 因為 $L_2$ 通過 $(8,21,0)$，代入 $\Pi$ 得 $8a+d=0$。 取 $a=-11$、$c=8$、$d=88$，得 $\Pi:-11x+8z+88=0$。 4. 此時 $L_1$ 方向為 $(0,8,0)\parallel(0,1,0)$，$L_2$ 方向為 $(0,11,0)\parallel(0,1,0)$， 兩線皆平行 $y$ 軸。 $L_1$ 的參數式：$(0,t,-11)$，$t\in\mathbb{R}$。 $L_2$ 的參數式：$(8,t,0)$，$t\in\mathbb{R}$。 5. 因為兩平行線的方向皆為 $(0,1,0)$，所以兩線間的距離為兩線上任意兩點在 $xz$ 平面的投影距離： $$d=\sqrt{(8-0)^2+(0-(-11))^2}=\sqrt{64+121}=\sqrt{185}.$$