114分科測驗數學甲選填第11題詳解

1. 一組對邊與 $5x-y=0$ 平行，方向向量取 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=(1,5)$。 2. 另一組對邊與 $3x-2y=0$ 垂直，即該組邊的方向垂直於直線 $3x-2y=0$， 所以方向向量平行於該直線的法向量 $(3,-2)$， 取 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(3,-2)$。 3. 設從頂點 $P$ 出發的兩邊向量為 $\alpha\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 和 $\beta\overset{\large\rightharpoonup}{v}$， 因為對角線互相平分，所以交點 $Q$ 滿足 $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ} =\frac{\alpha\overset{\large\rightharpoonup}{u}+\beta\overset{\large\rightharpoonup}{v}}{2}.$$ 4. 已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}=(10,-1)$，所以 $$\alpha(1,5)+\beta(3,-2)=(20,-2).$$ 即 $$\begin{cases} \alpha+3\beta=20,\\ 5\alpha-2\beta=-2. \end{cases}$$ 5. 解方程組：第一式乘 $5$ 減第二式得 $17\beta=102$，所以 $\beta=6$。 代回第一式得 $\alpha=20-3\cdot 6=2$。 6. 因為平行四邊形面積為兩鄰邊所張平行四邊形面積， 所以面積為 \begin{align*} \bigl|\det\bigl(\alpha\overset{\large\rightharpoonup}{u}, \beta\overset{\large\rightharpoonup}{v}\bigr)\bigr| &=|\alpha\beta|\cdot \bigl|\det\bigl(\overset{\large\rightharpoonup}{u}, \overset{\large\rightharpoonup}{v}\bigr)\bigr| \\[4pt] &=12\cdot\begin{vmatrix}1 & 3\\ 5 & -2\end{vmatrix} \\[4pt] &=12\cdot|(-2)-15| \\[4pt] &=12\cdot 17=204. \end{align*}