113學測數學A選填第17題詳解

1. 因為與點 $P(x,y)$ 距離為 $|x-y|$ 的所有點，在 $x\ne y$ 時構成以 $P$ 為圓心、$|x-y|$ 為半徑的圓，所以本題的條件是這個圖形完全落在正方形 $OABC$（含邊界）內。 2. 因為圖形落在正方形內等價於圓心往左、右、下、上各推 $|x-y|$ 都不越界，所以 $P$ 必須滿足 $$x-|x-y|\ge 0,\;y-|x-y|\ge 0,\;x+|x-y|\le 1,\;y+|x-y|\le 1.$$ 3. 依 $x-y$ 的正負分三種情形討論： 情形一：$x-y=0$。因為半徑為 $0$，圖形退化成 $P$ 這一個點，只要 $P$ 本身在正方形內即可，所以條件為 $x=y$ 且 $0\le x\le 1$，也就是對角線 $\overline{OB}$。 情形二：$x-y>0$。因為 $|x-y|=x-y$，代入第 $2$ 點四式，所以得 $y\ge 0$、$x-2y\le 0$、$2x-y-1\le 0$、$x\le 1$。 情形三：$x-y<0$。因為 $|x-y|=y-x$，代入第 $2$ 點四式，所以得 $2x-y\ge 0$、$x\ge 0$、$y\le 1$、$x-2y+1\ge 0$。 4. 因為情形二與情形三的不等式組把 $x$ 與 $y$ 對調後恰好互換，所以區域 $R$ 對直線 $x=y$ 對稱，兩半全等。 5. 情形二那一半的有效邊界是 $x=y$、$x-2y=0$ 與 $2x-y-1=0$，所以它是以 $O(0,0)$、$D$、$B(1,1)$ 為頂點的三角形，其中 $D$ 為後兩條直線的交點。 6. 解交點：因為 $x-2y=0$ 給出 $x=2y$，代入 $2x-y=1$ 得 $4y-y=1$，所以 $D=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$；由對稱性，情形三那一半的對應頂點為 $E=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$。 7. 因為以原點與 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 為頂點的三角形面積等於 $\frac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1\right|$，所以 $$\triangle ODB\text{ 的面積}=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{2}{3}\times 1-1\times\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}.$$ 8. 因為區域 $R$ 由這兩個全等的三角形拼成（情形一的對角線是它們的公共邊，不影響面積），所以總面積為 $2\times\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$。 故區域 $R$ 的面積為 $\frac{1}{3}$。 另解 （本解用到定積分，超出學測數A的考試範圍，僅供參考。） 1. 沿用主解答第 $2$ 點的四個不等式。因為條件把 $x$ 與 $y$ 對調後不變，所以先只算 $x\ge y$ 的一半，此時 $|x-y|=x-y$。 2. 代入四式：因為 $x-(x-y)=y\ge 0$ 與 $y+(x-y)=x\le 1$ 本來就成立，所以真正的限制只剩 $x+(x-y)\le 1$ 與 $y-(x-y)\ge 0$，即 $x\le\frac{1+y}{2}$ 與 $x\le 2y$。 3. 因此在這一半區域中 $x$ 從 $y$ 起算，上界是 $2y$ 與 $\frac{1+y}{2}$ 之中較小者。因為 $2y\le\frac{1+y}{2}$ 等價於 $y\le\frac{1}{3}$，所以寬度分兩段： 當 $y\le\frac{1}{3}$ 時，寬度為 $2y-y=y$。 當 $y>\frac{1}{3}$ 時，寬度為 $\frac{1+y}{2}-y=\frac{1-y}{2}$。 4. 積分求這一半的面積，所以 $$\int_0^{\frac{1}{3}} y\,dy+\int_{\frac{1}{3}}^{1}\dfrac{1-y}{2}\,dy=\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{18}+\dfrac{2}{18}=\dfrac{1}{6}.$$ 5. 因為另一半由對稱性面積相同，所以總面積為 $2\times\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$，與主解答一致。