113學測數學A多選第10題詳解

正六邊形有一邊在 $x$ 軸上、中心在 $x$ 軸上方。設邊長為 $t$，中心到該邊距離為 $\frac{\sqrt{3}}{2}t$。正方形在正六邊形右邊，$P$ 為正六邊形最右頂點。 因為 $P$ 到 $x$ 軸距離為 $2\sqrt{3}$，所以 $\frac{\sqrt{3}}{2}t=2\sqrt{3}$，$t=4$。取 $P=(0,2\sqrt{3})$，正方形邊長 $6$、左邊在 $x=0$，中心 $A=(3,3)$。正六邊形中心 $B=(-4,2\sqrt{3})$。 選項 $(1)$：$A$ 到 $x$ 軸距離為 $3$，$B$ 到 $x$ 軸距離為 $2\sqrt{3}$。因為 $(2\sqrt{3})^2=12>9=3^2$，所以 $B$ 較遠。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：因為邊長為 $4$ 非 $6$，所以 $(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$\overrightarrow{BA}=(3-(-4),3-2\sqrt{3})=(7,3-2\sqrt{3})$，所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$\overline{AP}^2=9+(3-2\sqrt{3})^2=30-12\sqrt{3}$。因為 $\sqrt{3}>1.7$，$12\sqrt{3}>20.4$，所以 $\overline{AP}^2<9.6<10$。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：斜率為 $\frac{2\sqrt{3}-3}{0-3}=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。因為 $1-\frac{2\sqrt{3}}{3}>-\frac{1}{\sqrt{3}}\iff\sqrt{3}+2>3$ 成立，所以 $(5)$ 正確。 故選 $(3)(5)$。