113學測數學A選填第16題詳解

1. 因為 $(2,-3)\cdot(3,2)=6-6=0$，所以這兩個向量互相垂直；又兩者長度皆為 $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。 2. 設 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=r$。因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 與兩向量的夾角皆為銳角，所以兩個正射影長皆為正，依題意分別為 $r-1$ 與 $r-2$。 3. 因為兩個方向互相垂直，$\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 可分解成沿這兩方向的分量，由畢氏定理得 $$r^2=(r-1)^2+(r-2)^2\implies r^2-6r+5=0\implies r=1\;\text{或}\;r=5.$$ 4. 因為 $r=1$ 會使第二個正射影長為 $1-2=-1<0$，與銳角條件矛盾，所以 $r=5$，兩分量長度為 $4$ 與 $3$。 5. 因此 $$\overset{\large\rightharpoonup}{v}=4\cdot\dfrac{(2,-3)}{\sqrt{13}}+3\cdot\dfrac{(3,2)}{\sqrt{13}}=\dfrac{(8+9,\;-12+6)}{\sqrt{13}}=\dfrac{(17,-6)}{\sqrt{13}}.$$ 6. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 在 $(4,7)$ 方向的正射影長等於內積除以 $(4,7)$ 的長度，所以 $$\dfrac{\left|(17,-6)\cdot(4,7)\right|}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{4^2+7^2}}=\dfrac{|68-42|}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{65}}=\dfrac{26}{13\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$$ 故正射影長為 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。