114分科測驗數學甲選填第9題詳解

1. 逆時針旋轉 $\theta$ 角的矩陣為 $A=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$。 對 $x$ 軸鏡射的矩陣為 $B=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$。 2. 計算 $BA$： $$BA=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ -\sin\theta & -\cos\theta\end{bmatrix}.$$ 3. $A$ 的所有元之和：$\cos\theta+(-\sin\theta)+\sin\theta+\cos\theta=2\cos\theta$。 $BA$ 的所有元之和：$\cos\theta+(-\sin\theta)+(-\sin\theta)+(-\cos\theta)=-2\sin\theta$。 4. 因為 $A$ 的元之和等於 $BA$ 的元之和的 $2$ 倍， 所以 $2\cos\theta=2(-2\sin\theta)$， 即 $2\cos\theta=-4\sin\theta$， 得 $\tan\theta=-\frac{1}{2}$。