114學測數學A單選第18題詳解

$A$、$B$ 皆為以原點為中心的逆時針銳角旋轉矩陣。因為旋轉矩陣 $R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$，兩旋轉矩陣相乘對應角度相加。 $A^2=R(2\theta_A)=\begin{bmatrix}0 & c\\1 & d\end{bmatrix}$。比較 $(1,1)$ 元素：$\cos2\theta_A=0$。因為 $A$ 為銳角旋轉，$\theta_A\in(0,\frac{\pi}{2})$，$2\theta_A\in(0,\pi)$，所以 $2\theta_A=\frac{\pi}{2}$，$\theta_A=\frac{\pi}{4}$。因此 $A=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}$，而 $A^2=\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}$，得 $c=-1$、$d=0$。 $B^3=R(3\theta_B)=\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}$。比較 $(1,1)$ 元素：$\cos3\theta_B=0$。因為 $B$ 為銳角旋轉，$\theta_B\in(0,\frac{\pi}{2})$，$3\theta_B\in(0,\frac{3\pi}{2})$，所以 $3\theta_B=\frac{\pi}{2}$（$3\theta_B=\frac{3\pi}{2}$ 會使 $\theta_B=\frac{\pi}{2}$ 非銳角），$\theta_B=\frac{\pi}{6}$。因此 $B=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}$。 故 $c=-1$，$d=0$。