114學測數學A選填第17題詳解

由餘弦定理： $$\overline{AC}^2=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)=18+\frac{9}{4}=\frac{81}{4}$$ 所以 $\overline{AC}=\frac{9}{2}$。 因為四邊形 $ABCD$ 共圓，由 Ptolemy 定理： $$\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{BC}\cdot\overline{AD}=\overline{AC}\cdot\overline{BD}$$ 代入數值：$3\cdot\overline{CD}+3\cdot\overline{AD}=\frac{9}{2}\cdot4=18$，所以 $\overline{AD}+\overline{CD}=6$。 $\angle ADC$ 與 $\angle ABC$ 互補（共圓四邊形對角），故 $\cos\angle ADC=-\cos\angle ABC=\frac{1}{8}$。 設 $\overline{AD}=x$、$\overline{CD}=y$。在 $\triangle ADC$ 中用餘弦定理： $$\left(\frac{9}{2}\right)^2=x^2+y^2-2xy\cdot\frac{1}{8}$$ 配合 $x+y=6$ 得 $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=36-2xy$，代入： $$\frac{81}{4}=36-2xy-\frac{xy}{4}=36-\frac{9}{4}xy$$ 所以 $xy=7$。 因此 $x,y$ 為 $t^2-6t+7=0$ 的兩根，即 $t=3\pm\sqrt{2}$。因為 $\overline{AD}\le\overline{CD}$，所以 $\overline{CD}=3+\sqrt{2}$。 故填 $3+\sqrt{2}$。