114學測數學A非選第19題詳解

承第 $18$ 題，$A=R(\frac{\pi}{4})$（旋轉 $45^\circ$），$B=R(\frac{\pi}{6})$（旋轉 $30^\circ$）。 $P(1,1)$ 到原點的距離為 $\overline{OP}=\sqrt{2}$，方向角為 $\frac{\pi}{4}$。 因為 $A^3=R(\frac{3\pi}{4})$，所以 $P$ 經 $A^3$ 變換後方向角變為 $\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=\pi$，長度不變。因此 $Q$ 的坐標為 $(\sqrt{2}\cos\pi,\sqrt{2}\sin\pi)=(-\sqrt{2},0)$。 因為 $B^4=R(\frac{2\pi}{3})$，所以 $Q$ 經 $B^4$ 變換後方向角變為 $\pi+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$（即 $300^\circ$），長度不變。因此 $R$ 的坐標為 $(\sqrt{2}\cos\frac{5\pi}{3},\sqrt{2}\sin\frac{5\pi}{3})=(\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2},\sqrt{2}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2}))=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2})$。 $\overset{\large\rightharpoonup}{OR}=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2})$，方向角為 $300^\circ$。設 $\theta$ 為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OR}$ 與向量 $(1,0)$ 的夾角。因為兩向量長度分別為 $\sqrt{2}$ 與 $1$，且內積為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $\cos\theta=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，故 $\theta=60^\circ$。