$L_1:\frac{x}{1}=\frac{y+3}{6}=\frac{z+4}{8}$，過 $(0,-3,-4)$，方向向量 $(1,6,8)$。
$L_2:\frac{x}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z+4}{4}$，過 $(0,-3,-4)$，方向向量 $(1,3,4)$。
$L_3:\frac{x}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，過 $(0,0,0)$，方向向量 $(1,3,4)$。
選項 $(1)$：因為 $L_1$ 與 $L_2$ 皆通過 $(0,-3,-4)$，所以兩直線相交。正確。
選項 $(2)$：因為 $L_2$ 和 $L_3$ 方向向量同為 $(1,3,4)$，且 $L_2$ 不過原點，所以兩者平行。正確。
選項 $(3)$：點 $P(0,-3,-4)$ 到 $L_3$ 的距離。$L_3$ 過 $Q(0,0,0)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}=(0,3,4)$。$|\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}|=5$。投影長度 $\frac{|(0,3,4)\cdot(1,3,4)|}{\sqrt{26}}=\frac{25}{\sqrt{26}}$。距離 $\sqrt{25-\frac{625}{26}}=\sqrt{\frac{25}{26}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\neq\frac{5}{26}$。$(3)$ 錯誤。
選項 $(4)$：$L_1$ 方向向量 $(1,6,8)$ 與 $L_3$ 方向向量 $(1,3,4)$ 不成比例，故不平行。$L_1$ 過 $(0,-3,-4)$，$L_3$ 過 $(0,0,0)$。設 $(t,6t-3,8t-4)=(s,3s,4s)$，由 $t=s$、$6t-3=3t$ 得 $t=1$。$t=1$ 時 $L_1$ 上點為 $(1,3,4)$，$s=1$ 時 $L_3$ 上點亦為 $(1,3,4)$，故兩線相交，非歪斜。$(4)$ 正確（選項命題「$L_1$與$L_3$歪斜」是錯誤的）。
選項 $(5)$：承上，$L_1$ 與 $L_3$ 相交，非歪斜。$(5)$ 錯誤。
故選 $(1)(2)(4)(5)$。