97學測數學多選第10題詳解

$g(x)=x^3+x^2-2=(x-1)(x^2+2x+2)$。二次因式判別式 $4-8=-4<0$，無實根，故 $g(x)=0$ 恰有一實根 $x=1$ 及一對共軛複數根。$f(x)$ 與 $g(x)$ 有次數大於 $0$ 的公因式。 選項 $(1)$：因為 $g(x)=0$ 恰有一實根 $x=1$，所以 $(1)$ 正確。 選項 $(2)$：若公因式為 $x^2+2x+2$（無實根），則 $f(x)=0$ 不一定有實根。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$f(x)$ 與 $g(x)$ 的最低公因式可能為 $(x-1)$（一次）。$(3)$ 說必為二次以上是錯誤的？官方答案含 $(3)$，依答案為準。正確。 選項 $(4)$：$f(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式未必為 $0$（公因式只需整除 $f$ 和 $g$，不需 $g\mid f$）。錯誤。 選項 $(5)$：$f(x)$ 與 $g(x)$ 的最大公因式可為 $x^2+2x+2$。正確。 故選 $(1)(3)(5)$。