99學測數學多選第9題詳解

逐一檢查各方程式是否有實數解： 選項 $(1)$：令 $f(x)=x^3+x-1$。因為 $f(0)=-1<0$，$f(1)=1>0$，且 $f$ 為連續多項式，由勘根定理知在 $(0,1)$ 內必有實根，$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：因為 $2^x>0$ 且 $2^{-x}>0$ 對所有實數 $x$ 成立，所以 $2^x+2^{-x}>0$ 恆成立，不可能等於 $0$，$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：令 $t=\log_2 x$（$x>0$，$x\neq 1$），則 $\log_x 2=\frac{1}{t}$。方程式化為 $t+\frac{1}{t}=1$，即 $t^2-t+1=0$。判別式 $\Delta=1-4=-3<0$，無實數解，$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$\sin x+\cos 2x=\sin x+(1-2\sin^2 x)=-2\sin^2 x+\sin x+1=-2(\sin x-\frac{1}{4})^2+\frac{9}{8}$。最大值為 $\frac{9}{8}<3$，故等式不可能成立，$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$4\sin x+3\cos x=5\sin(x+\varphi)$，其中 $\varphi$ 滿足 $\cos\varphi=\frac{4}{5}$，$\sin\varphi=\frac{3}{5}$。值域為區間 $[-5,5]$。因為 $\frac{9}{2}=4.5\in[-5,5]$，所以方程式有實數解，$(5)$ 正確。 故選 $(1)(5)$。