99學測數學多選第10題詳解

給定遞迴關係 $a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}-a_n$，逐一檢查： 選項 $(1)$：若 $a_1=1$，則 $a_2=\frac{1\cdot 2}{2}-1=1-1=0\neq 1$。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：若 $a_1$ 為整數，則 $a_2=1-a_1$ 亦為整數。由數學歸納法：假設 $a_n$ 為整數，因為 $\frac{n(n+1)}{2}$ 恆為整數，所以 $a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}-a_n$ 亦為整數。因此每一項都是整數，$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：若 $a_1$ 為無理數，則 $a_2=1-a_1$ 為無理數（有理數減無理數仍為無理數）。由歸納法：假設 $a_n$ 為無理數，$\frac{n(n+1)}{2}$ 為有理數，則 $a_{n+1}$ 為有理數減無理數，仍為無理數，$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：先推導 $a_{n+2}$ 與 $a_n$ 的關係： \begin{aligned} a_{n+2}&=\frac{(n+1)(n+2)}{2}-a_{n+1}\\[4pt] &=\frac{(n+1)(n+2)}{2}-\left(\frac{n(n+1)}{2}-a_n\right)\\[4pt] &=\frac{(n+1)(n+2-n)}{2}+a_n=(n+1)+a_n \end{aligned} 即 $a_{n+2}=a_n+(n+1)$。若 $a_1=1$（奇數），則 $a_3=a_1+2=3$（奇），$a_5=a_3+4=7$（奇），依此類推，所有奇數項皆為奇數，$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：由 $a_{k+2}=a_k+(k+1)$。若 $a_k$ 為奇數且 $k$ 為偶數，則 $k+1$ 為奇數，此時 $a_{k+2}=\text{奇數}+\text{奇數}=\text{偶數}$，並非一定為奇數，$(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)(4)$。