99學測數學多選第11題詳解

直線 $L$ 在平面 $E:2x-y=2$ 上，且通過 $A(2,2,2)$。設 $H$ 為原點 $O(0,0,0)$ 在 $L$ 上的投影點。 $H$ 必須滿足兩個條件： (i) $H$ 在平面 $E$ 上，即 $2x_H-y_H=2$。 (ii) 因為 $L$ 通過 $A$ 與 $H$，所以 $L$ 的方向可取為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AH}$。由 $\overset{\large\rightharpoonup}{OH}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{AH}$ 得 $\overset{\large\rightharpoonup}{OH}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=0$（若 $H=A$ 則 $\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=\mathbf{0}$，條件自然成立）。 逐一檢查： 選項 $(1)$：$H=(2,2,2)=A$。$2\cdot 2-2=2$。$\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=\mathbf{0}$，內積條件自然成立。可取 $L$ 為平面 $E$ 上過 $A$ 且垂直於 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 的直線，$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：$H=(2,0,2)$。$2\cdot 2-0=4\neq 2$，不在平面 $E$ 上，$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$H=(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0)$。$2\cdot\frac{4}{5}-(-\frac{2}{5})=\frac{10}{5}=2$。 $\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=(-\frac{6}{5},-\frac{12}{5},-2)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{OH}=(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0)$。 $\overset{\large\rightharpoonup}{OH}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=-\frac{24}{25}+\frac{24}{25}+0=0$。$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$H=(\frac{4}{5},-\frac{2}{5},-2)$。$2\cdot\frac{4}{5}-(-\frac{2}{5})=\frac{10}{5}=2$。 $\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=(-\frac{6}{5},-\frac{12}{5},-4)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{OH}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=-\frac{24}{25}+\frac{24}{25}+8=8\neq 0$。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$H=(\frac{8}{9},-\frac{2}{9},-\frac{2}{9})$。$2\cdot\frac{8}{9}-(-\frac{2}{9})=\frac{18}{9}=2$。 $\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=(-\frac{10}{9},-\frac{20}{9},-\frac{20}{9})$，$\overset{\large\rightharpoonup}{OH}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=-\frac{80}{81}+\frac{40}{81}+\frac{40}{81}=0$。$(5)$ 正確。 故選 $(1)(3)(5)$。