99學測數學多選第12題詳解

由題目所給調查表，女性贊成比例 $\hat{p}_F=0.52$，標準差 $0.02$；男性贊成比例 $\hat{p}_M=0.59$，標準差 $0.04$。 逐一檢查： 選項 $(1)$：抽樣調查所得為樣本比例，在未進行統計檢定的情況下，不能直接推斷全台灣母體比例的大小關係，$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：在 $95\%$ 信心水準下，信賴區間為 $\hat{p}\pm 1.96\times\text{SE}$。女性：$0.52\pm 1.96\times 0.02=0.52\pm 0.0392$。因為 $0.52-0.0392=0.4808\approx 0.48$，$0.52+0.0392=0.5592\approx 0.56$（四捨五入至小數點後第二位），所以信賴區間為區間 $[0.48,0.56]$，$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：由 $\text{SE}=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ 反推：$n_F=\frac{0.52\times 0.48}{0.02^2}=624$，$n_M=\frac{0.59\times 0.41}{0.04^2}\approx 151$。因為 $624>151$，所以女性樣本數大於男性樣本數，$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：由選項 $(3)$ 的計算，$n_F=624$，$n_M\approx 151$，女性樣本數 $624$ 大於男性樣本數 $151$，$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：女性標準差為 $0.02$，男性標準差為 $0.04$。因為「介於 $0.02$ 與 $0.04$ 之間」通常指開區間 $(0.02,0.04)$，而女性標準差 $0.02$ 與男性標準差 $0.04$ 均為端點值，不在開區間內，$(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(4)$。