102指考數學乙多選第6題詳解

各選項分析如下： $(1)$ 在 $95\%$ 的信心水準下，媒體 $A$ 的信賴區間的上下界為 $\hat{p} \pm 2\hat{\sigma}$，計算得 $\hat{p} \pm 2\hat{\sigma} = 0.30 \pm 0.04$，即區間 $[0.26, 0.34]$，所以$(1)$錯誤。 $(2)$ 當 $n_A = n_B$ 時，由於 $\hat{p}_A(1-\hat{p}_A) = 0.3 \times 0.7 = 0.21$，而 $\hat{p}_B(1-\hat{p}_B) = 0.4 \times 0.6 = 0.24$。因此 $\hat{\sigma}_B = \sqrt{\frac{0.24}{n_B}} > \sqrt{\frac{0.21}{n_A}} = \hat{\sigma}_A = 0.02$，即 $\hat{\sigma}_B$ 大於 $0.02$，所以$(2)$正確。 $(3)$ 媒體 $A$ 的 $\hat{\sigma}_A = \sqrt{\frac{0.21}{n_A}} = 0.02$，媒體 $C$ 的 $\hat{\sigma}_C = \sqrt{\frac{0.21}{n_C}} = 0.01$，得 $\frac{0.21}{n_C} = 0.0001 \implies n_C = 2100$；而 $\frac{0.21}{n_A} = 0.0004 \implies n_A = 525$。故 $n_C = 4n_A$（約四倍），所以$(3)$錯誤。 $(4)$ 由於真正的支持度 $p$ 未知，無法判斷誰更接近 $p$，所以$(4)$錯誤。 $(5)$ 雖然每一家媒體的信賴區間包含 $p$ 的機率為 $95\%$，但並不保證「至少有一家」必定包含，仍有可能因為抽樣誤差導致均未包含（雖然機率極低），此為邏輯上之必然，所以$(5)$錯誤。 故選 $(2)$。