102指考數學乙多選第7題詳解

由題意可知： $$A \begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & 7\\2 & 4\end{bmatrix}$$ 由於矩陣 $\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{bmatrix}$ 的行列式值為 $1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 1 eq 0$，其反矩陣為： $$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}2 & -1\\-1 & 1\end{bmatrix}$$ 故可求出 $A$： $$A = \begin{bmatrix}5 & 7\\2 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & -1\\-1 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \cdot 2 + 7 \cdot (-1) & 5 \cdot (-1) + 7 \cdot 1\\2 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) & 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 2\\0 & 2\end{bmatrix}$$ 因為上述推導，所以各選項分析如下： $(1)$ $\det(A) = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 0 = 6$，故$(1)$正確。 $(2)$ 矩陣 $A$ 的特徵方程式為 $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0 \implies \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$。 根據凱萊-哈密頓定理，矩陣 $A$ 滿足自身特徵方程式： $$A^2 - 5A + 6I = O \implies A^2 = 5A - 6\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$$ 故$(2)$正確。 $(3)$ $A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}2 & -2\\0 & 3\end{bmatrix}$，選項缺少了係數 $\frac{1}{6}$，故$(3)$錯誤。 $(4)$ $A\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 2\\0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9\\6\end{bmatrix}$，亦可用線性組合表示：$A\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = 2A\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} - A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix}7\\4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9\\6\end{bmatrix}$，故$(4)$正確。 $(5)$ $\begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix}A = \begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 2\\0 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 4\end{bmatrix} eq \begin{bmatrix}5 & 7\end{bmatrix}$，故$(5)$錯誤。 因此選 $(1)$(2)$(4)$。