103指考數學乙選填第10題詳解

由已知條件： $PQ = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$，$PR = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 12 \end{bmatrix}$，$Q+R = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$。 因為 $P(Q+R) = PQ + PR$，所以： $P(Q+R) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 12 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 16 & 12 \end{bmatrix}$ 設 $P = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，則： $P \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+3b & 3b \\ c+3d & 3d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 16 & 12 \end{bmatrix}$ 比較對應元素： $3b = 3$，得 $b = 1$。 $a + 3b = a + 3 = 3$，得 $a = 0$。 $3d = 12$，得 $d = 4$。 $c + 3d = c + 12 = 16$，得 $c = 4$。 因此 $P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$。