102學測數學多選第7題詳解

設 $A = \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix}$。計算 $A^n$ 的前幾項： - $n = 1$： $$A^1 = \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix} \implies a_1 = 1,\; b_1 = 1,\; c_1 = 0,\; d_1 = 2.$$ - $n = 2$： $$A^2 = \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3\\0 & 4\end{bmatrix} \implies a_2 = 1,\; b_2 = 3,\; c_2 = 0,\; d_2 = 4.$$ - $n = 3$： $$A^3 = \begin{bmatrix}1 & 3\\0 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 7\\0 & 8\end{bmatrix} \implies a_3 = 1,\; b_3 = 7,\; c_3 = 0,\; d_3 = 8.$$ 由數學歸納法可得一般項為： $$A^n = \begin{bmatrix}1 & 2^n - 1\\0 & 2^n\end{bmatrix} \implies a_n = 1,\; b_n = 2^n - 1,\; c_n = 0,\; d_n = 2^n.$$ 檢查各選項： - $(1)$ $a_2 = 1$：正確。 - $(2)$ 因為 $\langle a_n \rangle$ 數列為 $1, 1, 1, \dots$，所以是公比為 $1$ 的等比數列：正確。 - $(3)$ 因為 $\langle d_n \rangle$ 數列為 $2, 4, 8, \dots$，所以是公比為 $2$ 的等比數列：正確。 - $(4)$ $\langle b_n \rangle$ 數列為 $1, 3, 7, \dots$，不是等差數列：錯誤。 - $(5)$ 因為 $\langle c_n \rangle$ 數列為 $0, 0, 0, \dots$，所以是公差為 $0$ 的等差數列：正確。 故選 $(1)(2)(3)(5)$。